איך להבין ולהתמודד עם נושא הסדרות החשבוניות

סדרות חשבוניות זה לא נושא קשה, רק צריך לעשות סדר בראש וללמוד את השפה.

מאת: עדי שטמברגר

תלמידים רבים מסתבכים וחוששים מאד מנושא הסדרות החשבוניות, אבל כשבודקים לעומק מסתבר שמדובר באחד הנושאים הקלים יותר ללמידה במתמטיקה, וכי רוב הקשיים בנושא קשורים בעיקר למונחים וניסוחי השאלות.

 

מהי סדרה חשבונית?

אפילו אם לא למדתם מעולם על סדרות חשבוניות, אתם כבר מכירים אותן, מכיוון שכולנו לומדים את הסדרה החשבונית הראשונה שלנו בשלבים מוקדמים מאד בחיינו, ואנו מתכוונים כמובן לסדרה – 1,2,3,4,5... . מדוע זוהי סדרה חשבונית? מכיוון שסדרה חשבונית היא רצף של מספרים שההפרש ביניהם תמיד זהה. בסדרה החשבונית הזאת, ההפרש בין כל מספר למספר הבא אחריו הוא תמיד 1. לפי ההגדרה הזאת, גם רצף המספרים הזוגיים או רצף המספרים האי-זוגיים הן סדרות חשבוניות, כי ההפרש בין כל מספר למספר בתוכן הוא תמיד 2.

אז מה כל כך מסובך? ראשית, המונחים. למספרים בסדרות החשבוניות לא קוראים מספרים בדרך כלל, אלא "איברים", אבל זה ממש אותו הדבר. כל איבר בסדרה מסומן כ-a, והמיקום שלו בסדרה מסומן בספרות. מכיוון שישנם אינסוף מספרים, גם סדרות הן אינסופיות, ואנחנו לא יודעים מה המיקום של המספר האחרון בסדרה. זאת הסיבה שמסמנים אותו ב-n במקום במספר. כך יוצא שסדרה חשבונית נכתבת בשפת המתמטיקה כך –

a1, a2, a3, a4…an

טוען וידאו...

אנחנו יודעים שההפרש בין מספר למספר, או בין איבר לאיבר בשפה המתמטית, הוא תמיד קבוע. במתמטיקה מסמנים את ההפרש הזה באות d. איך יודעים כמה הוא d? זה פשוט, כי כמו שאמרנו, d הוא הפרש, והפרש הוא התוצאה של מספר אחד פחות מספר אחר. בסדרת המספרים 2,4,6,8... , למשל, ההפרש הוא תמיד 2, כלומר – אם תקחו מספר כלשהו מהסדרה ותפחיתו ממנו את המספר הקודם לו, התוצאה תהיה תמיד 2.

לדוגמא:

2=6-4; 2=8-6; 2=10-8, וכך הלאה, עד אינסוף.

ואם אנחנו כותבים זאת בשפה המתמטית –

d=an+1-an

אם כך, אפשר להגיד שכל מספר בסדרה הוא המספר שבא אחריו, פחות ההפרש ביניהם. בשפה המתמטית זה יראה כך –

an+1-d=an

 

איך יודעים אם רצף של מספרים הוא סדרה חשבונית?

אם בסדרה חשבונית ההפרש בין כל שני מספרים הוא תמיד זהה, אז צריך פשוט לבדוק שזה כך ברצף המספרים שלכם. אם תגלו שבין כל מספר למספר בסדרה שלכם יש את אותו הפרש, זאת ההוכחה לכך שמדובר בסדרה חשבונית. ישנה נוסחה לחישוב זה, ולשם כך אנחנו צריכים שיהיה ידוע לנו משהו על הסדרה. לפעמים ידוע לנו מהו an, או מהו an+1, וזה מספיק כדי לחשב את הנוסחה.

 

מה עוד אפשר לדעת על סדרות חשבוניות?

אפשר לחשב מהו n, גם אם אנחנו לא יודעים עד לאן מגיעה הסדרה, אם ידוע לנו מהו d.

למשל, אם d=3, אז –

a1=3; a2=a1+3=6; a3=a2+d=9, וכך הלאה.

ולכן –

an = a1 + (n-1)d

 

מכיוון שיש לנו נוסחה לחשב את כל המספרים בסדרה עד n, אפשר גם לחשב את סכום כל המספרים בסדרה חשבונית, בעזרת הנוסחה הבאה (הסכום מסומן בשפה המתמטית כ-Sn) –

Sn = n[a1 + a1 + (n-1)d]/2

שימו לב שאתם כבר מכירים את כל שאר הסימונים בנוסחה!

 

לנוסחה זאת קוראים נוסחת גאוס, על שם המדען גאוס, שיש המספרים שהבין כיצד מחשבים סכום של סדרת מספרים כבר בגיל 7!

סדרות חשבוניות
סדרות חשבוניות
shutterstock.com

השד אינו נורא כל כך

כמו שאתם רואים, סדרות חשבוניות לא כל כך מסובכות כמו שהן נראות, ואם מבינים את החלקים שלהן מבינים גם את הנוסחאות שקשורות אליהן, גם אם הן נכתבות בשפה מתמטית שנראית בהתחלה לא ברורה. אנחנו בוואלה! סקול ממליצים לכם לתרגל כמה שיותר ולענות על כמה שיותר שאלות בנושא, כדי שתפנימו את מה שלמדתם ויהיה לכם קל יותר לפתור שאלות בגרות במהירות וללא צורך בחשיבה מאומצת מדי. ככל שתתרגלו יותר, כך תזכרו טוב יותר את הנוסחאות ולא תצטרכו לבזבז זמן על חיפוש שלהן בדף הנוסחאות. אם אתם זקוקים לחיזוק ותרגול נוספים, אנו ממליצים לכם לצפות בסרטונים שלנו, הכוללים שיעורים שלמים בנושא שקל להבין ולזכור, כולל תרגילים רלוונטיים.